Задачи для 7 класса по геометрии на тему параллельные прямые с решением

Идеальные объекты

Геометрия — раздел математики, который изучает пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Все эти фигуры обладают двумя свойствами:

симметрия
равенство или подобие составных частей.

Равенство частей можно заметить у квадрата, ромба или равностороннего треугольника — равенство сторон. Также у них есть одна или несколько линий симметрии.

У шара бесконечное количество осей симметрии и плоскостей симметрии, но отсутствует равенство или подобие составных частей.

Все типы правильных многогранников обладают симметрией, при этом составлены из некоторого количества одинаковых фигур (треугольников, квадратов, пятиугольников).

Из всего этого можно сделать вывод, что отличить правильную геометрическую фигуру от произвольной совсем не сложно. Достаточно выяснить, имеет ли данная фигура оси или плоскости симметрии, а также из каких повторяющихся частей она состоит.

Таким образом, именно по наличию или отсутствию симметрии и равенства или подобия составных частей можно оценивать различные объекты окружающего мира на соответствие правильному геометрическому виду.

Например, возьмем два треугольника. На первый взгляд, они похожи, но у одного из них одна сторона вогнутая, вторая — выпуклая. А у другого наоборот.

Математика занимается идеальными объектами и делает о них некие заключения, которые называют теоремами. Эти треугольники похожи, и о них можно сделать близкое заключение, которое будет описывать свойства обоих.

Например, теорема Пифагора звучит так: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. А затем это свойство можно применять при решении задач и составлении чертежей.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Взаимодействие объектов

Следующий уровень — это взаимодействие всех-всех объектов, о которых мы говорили раньше.

Например, окружность и прямая. Прямая может находиться где-то в стороне от окружности, может ее пересекать, а может касаться, то есть пересекать в одной точке.

Если прямая проходит через центр окружности, то она пересекает окружность в двух точках — концах диаметра, который лежит на на этой прямой.

На рисунке прямая a проходит через центр окружности (точку О) и пересекает ее в двух точках А и В, которые являются концами диаметра АВ данной окружности.

Если прямая a не проходит через центр О окружности радиуса r, то возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности — в зависимости от соотношения между радиусом r этой окружности и расстоянием d от центра окружности до прямой a. Вот эти случаи:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d < r), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (d = r), то прямая и окружность имеют только одну общую точку. В этом случае прямая называется касательной по отношению к окружности.
Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности (d > r), то прямая и окружность не имеют общих точек.

Окружность вписанная в многоугольник — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности лежит внутри многоугольника, в который она вписана. Описанный около окружности многоугольник — это многоугольник, в который вписана окружность.

На рисунке четырехугольник АВСD описан около окружности с центром О, а четырехугольник АЕКD не является описанным около этой окружности, так как сторона ЕК не касается окружности.

В любой треугольник можно вписать только одну окружность, и вокруг любого ее можно описать.

Все это верно только для треугольников. Не в любой четырехугольник можно вписать окружность, и не вокруг любого можно описать. Более подробно эту тему можно изучить на уроках математики: признаки, теоремы и правила.

Классификация треугольников по их сторонам

Для классификации треугольников можно использовать их типологию.

Один из распространенных типов — прямоугольный треугольник. Если один из углов прямой, то это накладывает определенные свойства на треугольник. Прямоугольный треугольник — это также половина прямоугольника.

Свойства прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора сумма длин квадратов катетов равна квадрату гипотенузы
Свойство медианы: медиана, проведенная из вершины с прямым углом, равняется половине гипотенузы.

С прямоугольных треугольников начинается изучение тригонометрии. Можно измерять углы с помощью отношений, использовать понятия синуса, косинуса. Помним, что угол можно задать двумя числами, их отношением.

Если две стороны треугольника равны, то это равнобедренный треугольник — и тогда у него есть ось симметрии. Если нарисовать такой треугольник и сложить лист пополам, то две части треугольника совпадут. Эта особенность дает треугольнику определенные свойства.

Симметричный треугольник, у которого все углы и стороны равны — это равносторонний треугольник. У таких треугольников три оси симметрии. Это значит, что если мы повернем треугольник на 60 градусов, то получим точно такой же треугольник.

Такой треугольник задается одним параметром — длиной стороны. Она полностью определяет все другие значения и размеры в этом треугольнике.

От правильного треугольника может плавно перейти к правильным многоугольникам. У треугольника 3 угла, у четырехугольника — 4, а у пятиугольника — 5 углов. У многоугольника много углов

Откладывание отрезка

Для откладывания отрезка, равного данному отрезку (рис. 296, а) на прямой (рис. 296, б), следует: 1) отметить на прямой точку М; 2) радиусом, равным а, провести дугу окружности с центром в точке М (сделать засечку на прямой ).

В пересечении дуги и прямой получим точку К и отрезок МК, равный .

Операция откладывания отрезка на прямой позволяет построить сумму и разность двух отрезков (рис. 297): в первом случае на произвольной прямой откладывают последовательно два отрезка, во втором — на большем отрезке от любого его конца откладывают меньший отрезок.

В дальнейшем при решении задач на построение мы не будем описывать процедуру откладывания отрезка на прямой, считая ее элементарной операцией.

Перечислим 5 основных задач на построение, к которым сводятся другие задачи. Решая сложные задачи, будем ссылаться на эти основные, не описывая ту часть решения, которая связана с одной из основных задач.

Задача I. Построение треугольника по трем сторонам.
Задача II. Построение угла, равного данному.
Задача III. Построение биссектрисы угла.
Задача IV. Построение середины отрезка.
Задача V. Построение прямой, перпендикулярной данной.

В некотором смысле «линейка» и «циркуль» — это два идеальных робота, которые могут выполнять определенный набор операций. И наша задача — составить алгоритм из последовательности таких операций — команд для этих роботов, который приведет к построению необходимой фигуры. Фактически нужно написать программу для «циркуля» и «линейки».

Замечание. В треугольнике ABC стороны, противолежащие углам А, В и С, будем соответственно обозначать , и , а сами эти углы — , и (рис. 298). Медианы, проведенные к сторонам , и , — высоты — биссектрисы —

Азбука оригами

Сгиб «на себя» (сгиб «долиной») (см. Прилож. 6.1).
Сгиб «от себя» (сгиб «горой») (см. Прилож. 6.2).
Согнуть и разогнуть (см. Прилож. 6.3).
Перевернуть на плоскости (см. Прилож. 6.4).
Перевернуть на другую сторону (см. Прилож. 6.5).
Существующая линия, след сгиба (см. Прилож. 6.6).
Линия сгиба «долиной» (см. Прилож. 6.7).
Линия сгиба «горой» (см. Прилож. 6.8).
Невидимая, скрытая линия.
Повторить действие один, два, три раза.

В конце XX века возник новый термин «оригаметрия», обозначающий область геометрии, в которой способом решения задач является складывание. Роль прямых играют края листов и линии сгибов, образующиеся при перегибании, а роль точек — вершины углов листа и точки пересечения сгибов друг с другом или с краями листов.

Теперь перейдем к практической части нашего исследования. В ней мы рассмотрим следующие теоремы и задачи на построение:

Теорема о сумме углов треугольника
Теорема о накрест лежащих углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Построение правильного треугольника
Разделение прямого угла на три равные части
Катет в прямоугольном треугольнике, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы

Оригами в математике

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Возьмем произвольный треугольник ABC и перегнем лист в точке В перпендикулярно АС. Получим высоту ВН. Совместим вершины треугольника с точкой Н. Сумма углов А, B и С при наложении равна развернутому углу АНС, следовательно, равна 180 градусов.

Накрест лежащие углы при двух параллельных прямых и секущей равны. Возьмем лист бумаги, противолежащие стороны которого параллельны, а прямая АВ пересекает их. Сравним накрест лежащие углы 1 и 2. Согнем лист по секущей АВ, чтобы эти углы лежали в одной полуплоскости. Совместим вершины углов. Углы при наложении совпадают, что говорит об их равенстве.

Построение правильного треугольника. Возьмем квадрат АВСD. Согнем его пополам, правую и левую стороны также согнем пополам. Вершины А и В сгибаем к точкам, лежащим на срединном отрезке правой и левой частей, при этом линия сгиба должна выходить из центра стороны АВ. Согнем нижний край бумаги. Мы получили правильный треугольник. Проверить это можно наложением сторон друг на друга.

Разделение прямого угла на три равные части. Возьмем квадрат АВСD, разделим его пополам. Cовместим вершину D с линией сгиба так, чтобы вершина получившегося угла совпадала с точкой А. Перегнем оставшуюся часть листа по лучу АD. Вернем квадрат в исходное положение. Мы получили три равных угла. Проверить это можно наложением углов друг на друга.

Катет в прямоугольном треугольнике, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Возьмем треугольник АВС, с углом С равным 90 градусов и углом А равным 30 градусов. Совместим сторону ВС с частью стороны АВ. Точка С перейдет в точку, которую мы назовем точкой Н. получили равные отрезки ВС и ВН (они совпали при наложении). Линия сгиба является биссектрисой угла В, назовем ее ВМ. Если полученный треугольник АМВ перегнуть по линии МН, то отрезки ВН и АН совпадут. Таким образом, сторона ВС в два раза меньше стороны АВ.

Заключение

Таким образом, мы убедились в том, что математика и оригами действительно связаны. Благодаря оригами мы можем визуализировать теоретические знания, полученные на уроках геометрии, что приводит к лучшему пониманию материала.

Также, детей младшего возраста куда больше привлекает непосредственное участие в доказательстве теорем, нежели монотонное их заучивание. По нашему мнению, такой подход является эффективным и имеет место быть в учебном процессе.

Для написания данной работы были использованы ресурсы Сети Интернет.

Приложение 6. Азбука оригами

Сгиб «долиной»

Сгиб «горой»

Согнуть и разогнуть

Повернуть в одной плоскости

Перевернуть на другую сторону

Существующая линия, линия сгиба

Линия сгиба «долиной»

Линия сгиба «горой»

7 класс геометрия сложная тема, разъяснить подробно для детей

Решим более сложную задачу, где есть и доказательство равенства треугольников, и поиск углов. Алгоритм решения задачи:

Шаг 1. Начертим, согласно условиям. Дается треугольник АВС, в котором провели медиану (вспоминаем, что медиана делит сторону пополам). В нашей задаче медиана AD уходит за пределы треугольника, создавая дополнительный отрезок DE (он равен AD). Получился треугольник, из которого проведена медиана.

Шаг 2. Первая задача — доказать равенство треугольников ABD и ECD: соединим точку Е и С, чтобы получился треугольник.

Шаг 3. По условиям AD и DE равны (одна сторона треугольника равна другой стороне ⇒ AD = DE

Шаг 4. Получается BD = DC, так как медиана разделила BC пополам (выходит, еще одни стороны треугольников равны).

Шаг 5. Рассмотрим углы между сторонами (на рис. обозначены цифрами 1 и 2). Они вертикальные, так как образовались двумя прямыми. Следовательно, они равны.

Из первого признака равенства треугольников знаем, что если 2 стороны и угол между этими сторонами одного треугольника равен этим показателям во втором, то они равные. Пункт а доказан. Переходим к б.

Шаг 1. Нам нужно найти угол АСЕ. Из рисунка видно, что он состоит из 2-х маленьких углов, получается: угол АСЕ равен сумме углов DCA и DCE.

Шаг 2. По условиям мы знаем, чему равен DCA, осталось найти второй. Так как равенство треугольников доказали, значит воспользуемся правилом: напротив равных сторон треугольников лежат и равные углы. AD напротив ABD; DE напротив DCE. Выходит: угол ABD = углу DCE = 40 градусам (по условию).

Шаг 3. Маленькие углы известны, найдем тот, который требуется: угол ACE = 56º + 40º = 96º.

Равенство доказали, угол нашли. Задание выполнено.

Еще пара видеороликов про решение задачи с прямоугольным треугольником, а также вся геометрия за 7 класс в одной задаче.

Геометрические теоремы в оригами

Теорема 1: Сумма углов любого треугольника равна 180 градусов.

Доказательство.

1. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.

3. Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника (Приложение 4).

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Доказательство:

1. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ.

2. Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

3.Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (Приложение 5).

Теорема 3.

Доказательство:

1.Возьмем квадратный лист бумаги и наметим на нем середину стороны.

2.Точка D должна лечь на намеченную линию.

3.Согнем по указанной линии, а потом отогнем угол в первоначальное положение.

4.Теперь точку А положим на намеченную линию.

5.Опять отогнем линию и вернем в первоначальное положение (Приложение 6).

Продолжая рассматривать задачи, возникает следующий вопрос: «Многие ли учащиеся знают такой способ решения?». Для этого был проведен опрос учащихся 7-9 классов (Приложение 7).

Количество опрошенных: 7 классы – 89 человек, 8 классы- 45 человек, 9 классы- 80 человек. Опрос показал, что большая часть учащихся не знают, что существует такой способ решения геометрических задач как оригами, однако многие хотели бы его рассмотреть (Приложение 8).

Результаты анкетирования побудили к созданию серии фрагментов «Наглядная геометрия своими руками» и так как это дополнительный материал необходимый не только для изучения, но и для повторения в ходе самообразования и подготовки к экзаменам, то возникла необходимость искать новую форму подачи этого материала.

Форма изложения должна быть не только интересной и наглядной, но и доступной в любое время и в любом месте, так и появилась идея рождения серии видео инструкций по доказательству и решению задач с помощью оригами.

Кроме создания видео инструкций по доказательству и решению задач геометрии 7-9 класс с помощью оригами, по нашему мнению было бы интересно создать и серию видео инструкций по работе с оригами как внеклассную работу по пропедевтики геометрии 5-6 класс.

Заключение

Подводя итог выполненной работы, можно отметить, что оригами, как одно из направлений искусства, является наиболее логичной и гармоничной формой изучения геометрии, выступая как наглядное и практическое средство подтверждения логических рассуждений.

Исследуя различные классы задач, понимаешь, что оригами уже само по своей природе является целым разделом геометрии, с помощью которого можно изучать и исследовать геометрические фигуры и понятия, а главное способствовать развитию пространственного воображения и творческого мышления.

На мой взгляд математика – является одной из сторон искусства оригами, при этом оригами является одним из способов изучения и понимания математики.

В заключении необходимо отметить, что проделанная работа может принести пользу не только в изучении геометрии, но при подготовке к экзаменам и самообразованию, а созданные видео инструкции представят интерес и для родителей, учителей как помощник. Для меня же данный проект являлся отправной точкой в изучении различных способов быстрого, наглядного решения геометрических задач.

Список литературы

Афонькин С. Ю., Афонькина Е. Ю. Энциклопедия оригами. — СПб.: ООО Издательский дом «Кристалл», 2000.
Афонькин С.Ю., Афонькина Е.Ю. Все об оригами/Справочник. С-Пб: изд.Кристалл, М: «Оникс», 2005.
О. В. Весновская. Оригами: орнаменты, кусудамы, многогранники. -Чеб.: изд. «Руссика», 2003г.
С. Н. Белим. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами. – М.: изд. «Аким», 1998г.
Интернет

Приложение 4. Анкета для учащихся 7-9 классов

Трудно Вам выполнять наглядное представление геометрических задач при решении?
Знаете ли Вы, что некоторые задачи по геометрии можно решать с помощью обычного перегибания листа бумаги (оригами)?
Хотели бы вы совместить свои знания в геометрии с техникой оригами для упрощения изучения геометрии?
Если в Internet будут предложены такие задачи, Вы будете обращаться к этому ресурсу и как часто?

Приложение 5. Результаты анкетирования

Диаграмма 1. Процент трудности в наглядном представлении геометрических задач

Диаграмма 2. Знаете ли Вы способ решения геометрических задач — оригами?

Диаграмма 3. Хотели бы вы совместить свои знания в геометрии с техникой оригами для упрощения изучения геометрии?

Диаграмма 4. Вы будете обращаться к этому ресурсу?

«Параллельность прямых. Решение задач». 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

— продолжить работу над формированием у учащихся базовых теоретических и практических навыков по данной теме (организовать отработку теоретических и практических знаний учащихся по теме “параллельность прямых”);

— продолжить знакомство с различными методами решения задач, организовать работу по составлению алгоритма (способа), схемы рассуждений при решении задач;

1. Организационный момент. Актуализация опорных знаний.

Сегодня мы продолжим изучать тему “Параллельность прямых”.

Давайте вспомним, на каких вопросах мы останавливались:

— определение параллельных прямых;

— следствия из аксиомы параллельности;

— свойства параллельных прямых;

Виды углов:1 и 4, 5 и 6, 7 и 6, 1 и 9, 4 и 11, 3 и 9, 2 и 11, 3 и 10, и т.д.

Сейчас вы в течение 2-3х минут повторяете теоретический материал по обучающим карточкам. (Обучающие карточки представляют собой двухсторонние карточки, на одной стороне которых записывается начало теоремы, следствия, свойства, а на оборотной стороне продолжение. Учащийся начинает формулировать теорему, следствие, свойство не переворачивая карточку, затем переворачивает и проверяет себя. Если все верно, кладет карточку справа от себя, если допустил ошибки, кладет слева. Когда проговорит весь теоретический материал, берет карточки слева и проговаривает снова. И т.д.)

Сколько неверных вариантов осталось по истечении времени?

Каждый из вас знает, какие теоретические вопросы ему нужно повторить ещё раз к следующему уроку. (Таким образом, ученик сам оценивает уровень своей теоретической подготовки по данной теме).

2. Новый материал.

Мы за время с начала урока повторили теоретический материал: определения, свойства, признаки, виды углов.

Как вы думаете, для чего мы всё это повторили? Где все это нам необходимо применять?

При решении задачи

— Записываем число и тему урока в тетрадь.

— А какие именно задачи мы будем решать?

— Где необходимо доказать параллельность прямых или использовать свойства параллельных прямых?

— Каким образом мы можем подойти к параллельности прямых?

— Через равенство углов (какие признаки конкретно к каким углам: односторонние, накрест лежащие, соответственные)?

— Т.е. нам необходимо иметь равные углы (накрест лежащие или соответственные) или дающие вместе 180°. С какими фигурами мы обычно работали, доказывая равенство углов?

— Доказывали, что треугольники равны, а затем делали вывод о равенстве необходимых сторон или необходимых углов.

— Составим схему рассуждения при решении задач на доказательство параллельности прямых:

— найти углы, необходимые для решения;

— доказать равенство треугольников, в которые эти углы входят;

— сделать вывод о параллельности прямых на основании признака параллельности.

3. Решение задач.

— Сформулируйте задачу на доказательство равенства треугольников по данному чертежу.

— Попробуйте сформулировать вопрос (из новой темы) (на доказательство параллельности прямых).

(Учащиеся формулируют вопрос)

3) прямые параллельны,

4) другие углы —> те же прямые.

— Cформулируйте текст задачи и вопрос (из старой темы) (на равенство треугольников).

— Cформулируйте вопрос (из новой темы) (на доказательство параллельности прямых).

3) прямые параллельны,

4) другие углы —> те же прямые.

По вариантам записать решение (до 3-4 минут).

Вместе с классом проверяют решение (чтение вслух и обсуждение). Можно решение вывести на слайд и попросить учащихся оценить себя по эталону.

Итогом работы является заполненная таблица с пошаговым алгоритмом решения задач.

1	Выбрать треугольники, в которых находятся прямые, параллельность которых необходимо доказать
2	Доказать равенство треугольников.
3	Выбрать нужные углы (накрест лежащие, соответственные, односторонние )
4	Доказать параллельность, используя нужный признак

4. Этап первичного практического закрепления

Учащиеся работают с тестами (приложение , )

Геометрия 7 класс задача по теме треугольники, пояснение решения задач

Решим несколько задач про треугольники:

нахождение периметра;
доказательство равенства треугольников.

Сумму периметра АВС также записали с помощью сложения сторон. Затем упростили это сложение, записав: 32 = 2 АВ + 2 ВМ (так как АВ и АС равны — равнобедренный треугольник; ВМ и СМ тоже равны). Потом эту запись сократили, разделив на 2.

Вышло, что сумма двух сторон равна 16 см. Остается найти третью сторону (АМ). Она входит в треугольник АВМ, периметр которого равен 24 см. Тогда, чтобы найти третью сторону (АМ, нужно просто 24 отнять 16, вышло 8 см. В примере подставили в уравнение, чтобы не запутаться.

Решим задачу на нахождение угла в треугольнике.

Чтобы найти угол С в задаче потребовалось узнать, чему равен угол В. По условиям известно, что внешний В равняется 110º. Знаем, что развернутый угол равняется 180º (это внешний и внутренний угол В в сумме). Поэтому от 180 отнимаем 110. Получается угол В = 70º.

Треугольник равнобедренный, значит углы при основании одинаковые ⇒ угол В = углу А = 70º.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180º (по правилу), значит угол С = 180 — углы А и В = 180 — 70 — 70 = 40°.

Решение задач по теме «Треугольники» (7-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 7

Цели и задачи урока:

обобщить, закрепить и углубить знания по изученной теме;
формировать умение обучаемых доказывать равенство данных треугольников, опираясь на изученные признаки, применять свойства равнобедренного треугольника;
отработать навыки решения простейших задач на построение с помощью циркуля и линейки;

развивать логическое мышление, самостоятельность учащихся при решении заданий; умение на практике применять знания, полученные на уроках;

воспитывать познавательную активность, упорство в достижении поставленной цели, культуру умственного труда

Оборудование:

интерактивная доска или наглядный материал (готовые чертежи);
карточки с задачами для индивидуальной работы на доске;
таблицы с признаками равенства треугольников.

Тип урока: урок закрепления полученных знаний.

Ход урока

І. Организационный момент.

Учитель:

— Тема урока: «Решение задач по теме «Треугольники»». Мы сегодня обобщим и систематизируем знания по данной теме и наша цель: подготовиться к контрольной работе, которая будет на следующем уроке.

— Откройте дневники и запишите домашнее задание.

I уровень: № 120(б), 121;
II – III уровень: №160 (б), 162(б).

II. Актуализация опорных знаний.

1. У доски двое учащихся решают задачи по карточкам.

Начертите равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. С помощью циркуля и линейки проведите медиану АА1 к боковой стороне ВС.

Дано: АО = BO, СО = DO, CO = 5см, ВО = 3см, BD = 4см. 1)Докажите, что

2. Для остальных учащихся класса организована фронтальная работа.

Цель: повторить основные вопросы теории темы «Равнобедренный треугольник и его свойства» с помощью теста. (Вопросы теста – на интерактивной доске)

Теоретический тест. В каждом задании из трёх предложенных ответов выберите верный и обоснуйте его. Верных ответов может быть несколько. Подумайте и ответьте на вопрос. (А я считаю, что…; я не согласна с этим утверждением, т.к. …)

1) Медиана в равнобедренном треугольнике является его биссектрисой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно. Ответ: б), если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника.

2) Если треугольник равносторонний, то: а) он равнобедренный; б) все его углы равны; в) любая его высота является биссектрисой и медианой. Ответ: а), б), и в), равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника; в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому в равностороннем треугольнике все углы равны.

3) В каком треугольнике только одна его высота делит треугольник на два равных треугольника? а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем. Ответ: б), высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника.

4) Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой. Это утверждение: а) всегда верно; б) может быть верно; в) всегда неверно. Ответ: а)

5) Если треугольник равнобедренный, то а) он равносторонний; б) любая его медиана является биссектрисой и высотой; в) ответы а) и б) неверны. Ответ: в), т.к. равнобедренный треугольник не всегда является равносторонним; медиана, проведённая к боковой стороне равнобедренного треугольника, не является биссектрисой и высотой, если треугольник не равносторонний.

6) В каком треугольнике любая его высота делит треугольник на два равных треугольника? а) в любом; б) в равнобедренном; в) в равностороннем. Ответ: в).