Примеры решений систем тригонометрических уравнений

Решение 3-х более сложных уравнений

Уравнение 12. Най­ди­те корни урав­не­ния: \( \displaystyle cos\frac{8\pi x}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}\). В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный ко­рень.

Логика простая: будем поступать так, как поступали раньше не взирая на то, что теперь у тригонометрических функций стал более сложный аргумент!

Если бы мы решали уравнение вида:

\( \displaystyle cost=\frac{\sqrt{3}}{2}\)То мы бы записали вот такой ответ:

\( \displaystyle t=\pm arccos\frac{\sqrt{3}}{2}+2\pi n,~n\in Z\)Или (так как \( \displaystyle arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}\))

\( \displaystyle t=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n,~n\in Z\)Но теперь в роли \( \displaystyle t\) у нас выступаем вот такое выражение: \( \displaystyle t=\frac{8\pi x}{6}\)

Тогда можно записать:

\( \displaystyle \frac{8\pi x}{6}=\pm \frac{\pi }{6}+2\pi n\)Наша с тобою цель – сделать так, чтобы слева стоял просто \( \displaystyle x\), без всяких «примесей»!

Давай постепенно от них избавляться!

Вначале уберём знаменатель при \( \displaystyle x\): для этого домножим наше равенство на \( \displaystyle 6\):

\( \displaystyle \frac{6\cdot 8\pi x}{6}=6\cdot \left( \pm \frac{\pi }{6}+2\pi n \right)\)\( \displaystyle 8\pi x=\pm \frac{6\pi }{6}+12\pi n\)\( \displaystyle 8\pi x=\pm \pi +12\pi n\)Теперь избавимся от \( \displaystyle \pi \), разделив на него обе части:

\( \displaystyle 8x=\pm 1+12n\)Теперь избавимся от восьмёрки:\( \displaystyle \frac{8x}{8}=\pm \frac{1}{8}+\frac{12n}{8}\)\( \displaystyle x=\pm \frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)Полученное выражение можно расписать как 2 серии решений (по аналогии с квадратным уравнением, где мы либо прибавляем, либо вычитаем дискриминант)\( \displaystyle x=\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)или\( \displaystyle x=-\frac{1}{8}+\frac{3n}{2}\)Нам нужно найти наибольший отрицательный корень! Ясно, что надо перебирать \( \displaystyle n\).

Алгоритм решения простейших тригонометрических уравнений

Геометрический способ решения простейших тригонометрических уравнений заключается в применении тригонометрической окружности и выполнения ряда действий:

• отметить корни на единичной окружности;
• определить пересечения.

При решении арифметическим методом тригонометрические уравнения сводятся к простейшим. В этом случае пригодятся записанные ранее формулы. Разберем с их помощью поиск корней простейших тригонометрических уравнений.

Решим уравнение:

sinx=,5

Согласно определению:

x=-1narcsin,5+πn, n∈Z

Далее нужно упростить выражение путем вычисления значения арксинуса. Получаем синус угла π6. Определим угол, синус которого составляет 0,5. Запишем:

x=-1nπ6+πn, n∈Z

Ответ: x=-1nπ6+πn, n∈Z

Найдем решения уравнения:

sinx=-32

Исходя из определения, запишем:

x=-1narcsin-32+πn, n∈Z

Вынесем отрицательный знак из арксинуса:

x=-1n-arcsin32+πn, n∈Z

Знак минуса обозначает умножение на -1:

x=-1n-1arcsin32+πn, n∈Z

Применив правила умножения степеней, можно объединить пару -1:

x=-1n-1arcsin32+πn=-1n+1arcsin32+πn

Определим угол, синус которого составляет 32. Таковым является π3. Тогда:

x=-1n+1π3+πn, n∈Z 

Ответ: x=-1n+1π3+πn, n∈Z 

В качестве тренировки решим уравнение:

sinx=-,1

Согласно определению:

x=-1narcsin-,1+πn, n∈Z

Можно вынести знак минуса, как в предыдущем примере:

x=-1n+1arcsin,1+πn, n∈Z

Проверим наличие 0,1 в таблице значений для тригонометрических функций. Такое число отсутствует. Поэтому можно записать ответ.

Ответ: x=-1n+1arcsin,1+πn, n∈Z

Найдем корни уравнения с подробными вычислениями:

cosx=1

Согласно определению:

x=±arccos1+2πn, n∈Z

Угол, косинус которого равен 1, составляет 0. Таким образом:

x=±+2πn, n∈Z

Избавимся от нуля:

x=2πn, n∈Z

Данная формула присутствует в таблице значений для тригонометрических функций, поэтому можно записать ответ.

Ответ: x=2πn, n∈Z

Найдем решения уравнения:

cosx=-12

Исходя из определения:

x=±arccos-12+2πn, n∈Z

Избавимся от минуса, руководствуясь правилами для арккосинуса:

x=±π-arccos12+2πn, n∈Z

Используя табличное значение для 22, запишем:

12=22·2=22

Если единицу разделить на «квадратный корень из двух», то получим «корень из двух пополам». Угол с косинусом 12 равен π4. В таком случае:

x=±π-       π4+2πn, n

x=±4π4-       π4+2πn, n∈Z

x=±3π4+2πn, n∈Z

Ответ: x=±3π4+2πn, n∈Z

Решим уравнение:

cosx=π4

Заметим, что такое уравнение имеет корни, так как:

π4=3,144<1

Согласно определению:

x=±arccosπ4+2πn, n∈Z

Данная запись не дает право утверждать, что:

arccos   π   4=22

Невозможно представить угол 22. Тогда оставим запись в неизменном виде.

Ответ: x=±arccosπ4+2πn, n∈Z

Определим корни уравнения:

cosx=-2

Заметим, что:

-2<-1

Вывод: уравнение не имеет корней.

Рассмотрим следующий пример:

tgx=2

Исходя из определения:

x=arctg2+πn, n∈Z

Заметим, что arctg2 не является табличным значением. По этой причине ответ следует записать без изменений.

Решим уравнение:

ctgx=-3

Согласно определению:

x=arсctg-3+πn, n∈Z

Избавимся от минуса:

x=π-arcctg3+πn, n∈Z

Угол, котангенс которого составляет 3, равен π6.

Ответ: x=π-π6+πn=5π6+πn, n∈Z.

Найдем корни уравнения:

ctgx=1

Воспользуемся формулой:

x=arcctg1+πn, n∈Z.

Угол, котангенс которого составляет 1, равен π4.

Ответ: x=π4+πn, n∈Z.

Заметим, что в процессе решения заданий, часто приходилось иметь дело с n. Это любое целое число, например: -1, 0, 1. Особенность тригонометрических уравнений заключается в том, что они обладают бесконечным числом решений. Такую бесконечность обозначают с помощью n. Запись: n∈Z говорит о том, что n является любым целым числом.

Обратные тригонометрические функции:

• arcsinα представляет собой угол с синусом, равным α;
• arccosα является углом, косинус которого составляет α;
• αarctgαобозначает угол с тангенсом, равным α;
• αarcctgα является углом, чей котангенс определяется как α.

Составим последовательность действий для решения уравнений с обратными тригонометрическими функциями:

• анализ выражения под знаком обратной тригонометрической функции;
• определить знак обратной тригонометрической функции;
• вычислить угол, для которого синус, косинус, тангенс, котангенс соответствует числу, находящемуся под знаком обратной тригонометрической функции;
• записать ответ.

Рассмотрим алгоритм на примере:

arccos32

Заметим, что под знаком обратной тригонометрической функции число:

32

Здесь записана обратная функция в виде арккосинуса. Косинус угла составляет 32. Тогда угол равен π6 (или 30 градусов). В результате:

arccos32=π6

Полезными при решении тригонометрических уравнений с обратными функциями станут следующие формулы:

arcsin-α=-arcsinα

arctg-α=-arctgα

arcctg-α=π-arcctgα

arccos-α=π-arccosα

Простейшие тригонометрические уравнения

Все уравнения, которые содержат переменную под знаком тригонометрических функций, называются тригонометрическим уравнением. Если перед вами уравнения такого вида, как:

sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a,

в котором x является его переменной, и a является действительным числом, то такие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями.
И если нам с вами известно, что в том случае, когда:

1) | а | < 1, то решения уравнения cos о:-а приобретает такой вот вид:

Во всех перечисленных формулах подразумевается, что параметр (n, к и т.д.) принимает любые целочисленные значения

Во всех этих формулах, которые перечислены выше, следует понимать, что параметр (n, к и т.д.) может принимать любые целочисленные значения.

Также к простейшим уравнениям можно отнести и такие уравнения, которые имеют вид:
Т(кх + m)=а. В этом случае Т является знаком какой-нибудь тригонометрической функции. А теперь давайте попробуем это рассмотреть на примере решения уравнения.

Пример 1. Нам нужно решить данные уравнения:

Решение:

а) Для решения этого уравнения нам понадобиться в первую очередь ввести новую переменную:

Далее, мы вернемся к переменной х, и соответственно получим:

Теперь нам остается разделить почленно на два обе эти части, в итоге мы получим:

Но здесь обратите внимание на то, что приобретя некоторый опыт решения таких уравнений, появляется возможность без ввода промежуточной переменной t = 2х, сразу переходить от уравнения

Таким методом мы постараемся действовать и в дальнейшем.

б) Нам с вами уже известно, что при решении такого уравнения, как соs t = а, оно приобретает вид:

А это будет означать, что:

Рассмотрим второй пример.

Пример 2. Нам необходимо найти корни такого уравнения, как:

Эти корни принадлежат отрезку.
Приступим к решению.

Решение.

Внвчале мы с вами решим это уравнение в общем виде, руководствуясь примером 1а:

Теперь попробуем последовательно придать параметру п, такие значения, как: 0,1, 2,…, -1, -2,… , а далее возьмем и подставим эти значения в общую формулу корней.
Смотрим, что у нас вышло:

А получилось у нас то, что данное число не принадлежит заданному отрезку , также как и не принадлежать заданному отрезку и все те значения х, которые мы получили из общей формулы при n = -2, -3,…
Сейчас внимательно посмотрите на рис. 94. На нем мы видим геометрическую интерпретацию проведенных рассуждений.

Решив уравнение и рассмотрев рисунок, мы с вами пришли к выводу, что заданному отрезку могут принадлежать корни уравнения, полученные из общей формулы, если параметр n имеет следующие значения: n = 0, n = 1.

Вот как выглядят эти корни:

Следовательно, мы получаем такой ответ:

Перейдем к решению следующего примера.

Пример 3. Дано уравнение

и нам нужно найти корни, принадлежащие отрезку

Решение: В первую очередь нам нужно решить это уравнение в общем виде, взяв за пример решения задание 1б:

Далее необходимо придать последовательно параметру n, значения 0,1, 2,…, -1, -2,…
Следующим нашим шагом нужно будет подставить все эти значения в общую формулу корней.
Смотрим, вот что у нас вышло:

У нас получились числа, которые больше числа n. И мы снова приходим к выводу, что значения х, которые мы получили из общей формулы при n = 3,4,…, тем более не могут принадлежать заданному отрезку.

Так же, как и не могут принадлежать отрезку значения х, полученные из общей формулы, если n = -2, — 3,…

Рассмотрите внимательно представленную на рис. 95 интерпретацию проведенных рассуждений.

Из этого следует, что заданному отрезку

принадлежат такие корни уравнения, как:

Простейшие тригонометрические уравнения

Что же это такое, как ты думаешь? Является ли, например, уравнение

\( \displaystyle \frac{2}{2{x}-11}=\frac{1}{3}\)тригонометрическим?

Ты и сам прекрасно понимаешь, что нет! Потому что ни одной тригонометрической функции \( \displaystyle \left( sin x,cos x,tg x,ctg x \right)\) в нём и в помине нет!

А что насчёт вот такого уравнения?

\( \displaystyle sin2x+3x=2\)И опять ответ отрицательный!

Это так называемое уравнение смешанного типа.

Оно содержит как тригонометрическую составляющую, так и линейную (\( \displaystyle 3x\)).

Некоторые типы подобных уравнений мы будем с тобой решать в следующих раздела этой статьи.

Но вернёмся к вопросу: «Что же такое тригонометрические уравнения?»

Например:

• \( \displaystyle 6co{{s}^{2}}x+5sin{x}-7=0\)
• \( \displaystyle sin\pi \sqrt{x}=-1\)
• \( \displaystyle \frac{3}{5}sinx+\frac{4}{5}cosx=1\) и т.д.

Однако для начала мы не будем решать сложные и иногда неприступные тригонометрические уравнения, а ограничимся самыми простыми уравнениями вида:

• \( \displaystyle sinf\left( x \right)=a\)
• \( \displaystyle cosf\left( x \right)=a\)
• \( \displaystyle tgf\left( x \right)=a\)
• \( \displaystyle ctgf\left( x \right)=a\)

Где \( \displaystyle a\) – некоторое постоянное число.

Например: \( \displaystyle 0,5;~1;~-1;\pi ;\ ~1-\sqrt{3};~1000\) и т. д.

\( \displaystyle f\left( x \right)\) – некоторая функция, зависящая от искомой переменной \( \displaystyle x\), например \( \displaystyle f\left( x \right)=x,~f\left( x \right)=2-x,~f\left( x \right)=\frac{\pi x}{7}\) и т. д.

Такие уравнения называются простейшими!

Основная цель решения ЛЮБОГО тригонометрического уравнения – это свести его к виду простейшего!

Для этого, как правило, используют аппарат, который я описал в разделе «Формулы тригонометрии«

Архив записей

Архив записейВыберите месяц Январь 2022  (2) Сентябрь 2021  (1) Июль 2021  (1) Июнь 2021  (2) Май 2021  (1) Апрель 2021  (1) Март 2021  (1) Сентябрь 2020  (1) Август 2020  (2) Июль 2020  (2) Июнь 2020  (2) Декабрь 2019  (3) Ноябрь 2019  (4) Октябрь 2019  (3) Сентябрь 2019  (2) Май 2019  (1) Октябрь 2018  (1) Июнь 2018  (1) Апрель 2018  (1) Январь 2018  (1) Ноябрь 2017  (1) Октябрь 2017  (1) Сентябрь 2017  (2) Август 2017  (4) Июль 2017  (5) Июнь 2017  (4) Май 2017  (5) Апрель 2017  (2) Март 2017  (1) Февраль 2017  (1) Январь 2017  (3) Декабрь 2016  (1) Ноябрь 2016  (2) Октябрь 2016  (3) Сентябрь 2016  (4) Август 2016  (6) Июль 2016  (9) Июнь 2016  (4) Май 2016  (5) Апрель 2016  (6) Март 2016  (5) Февраль 2016  (8) Январь 2016  (8) Декабрь 2015  (9) Ноябрь 2015  (4) Июль 2015  (1) Март 2015  (1) Февраль 2015  (1) Январь 2015  (1) Июль 2014  (1) Июль 2013  (1) Март 2013  (2) Декабрь 2012  (1) Ноябрь 2012  (1) Сентябрь 2012  (3) Август 2012  (4) Июль 2012  (4) Июнь 2012  (4) Май 2012  (4) Апрель 2012  (5) Март 2012  (7) Февраль 2012  (8) Январь 2012  (7) Декабрь 2011  (5) Ноябрь 2011  (1)

Если «арка» берется от отрицательного числа?

Всё ли я сказал про «арки»? Почти что да! Остался вот какой момент.

Что делать, если «арка» берётся от отрицательного числа?

Лезть в таблицу – как бы не так! Для арок выполняются следующие формулы:

• \( \displaystyle \text{arcsin}\left( -\alpha \right)=-\text{arcsin}\alpha \)
• \( \displaystyle \text{arctg}\left( -\alpha \right)=-\text{arctg}\alpha \)

И внимание!!!

• \( \displaystyle \text{arcctg}\left( -\alpha \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arcctg}\alpha \)
• \( \displaystyle \text{arccos}\left( -\alpha \right)=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{arccos}\alpha \)

Чтобы запомнить, ориентируемся на обычные тригонометрические функции: грубо говоря, синус и тангенс мы смотрим на тригонометрической окружности по вертикальной оси, а косинус и котангенс – по горизонтальной.

Соответственно, для арксинуса и арктангенса выбираем две четверти по вертикали: первую и четвёртую (минусик выносится из аргумента и ставится перед функцией), а для арккосинуса и арккотангенса – по горизонтали: первую и вторую.

В первой и второй четвертях аргумент уже не может быть отрицательным, поэтому и получаются формулы не совсем похожими.

Алгоритм вычисления арксинусов и других «арок»

• Смотрим на то, что стоит под «аркой» – какое там число
• Смотрим, какая у нас «арка» – для синуса ли, или для косинуса, тангенса или котангенса
• Смотрим, чему равен угол (1 четверти), для которого синус, косинус, тангенс, котангенс равен числу, стоящему под аркой
• Записываем ответ

Вот простой пример вычисления аркосинуса:

Решение:

• Под аркой число \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• Арка для функции – косинус!
• Косинус какого угла равен \( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\)? Угла \( \displaystyle \frac{\pi }{6}\) (или \( \displaystyle 30\) градусов!)
• Тогда \( \displaystyle \arccos \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)=\frac{\pi }{6}\)

Сам посчитай:

• \( \displaystyle \ arctg\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)
• \( \displaystyle \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)\)

Ответы:

Два способа решения тригонометрических уравнений – через формулы и по кругу

В принципе, я не могу сказать, что легче: держать в голове, как строится круг, или помнить 4 формулы.

Тут решать тебе самому, однако я всё же предпочитаю решать данные уравнения через формулы, поэтому здесь я буду описывать именно этот метод.

Вначале мы начнём с «самых простейших» из простейших уравнений вида:

• \( \displaystyle \text{sinx}=\text{a}\),
• \( \displaystyle \text{cosx}=\text{a}\),
• \( \displaystyle \text{tgx}=\text{a}\),
• \( \displaystyle \text{ctgx}=\text{a}\).

Я хочу сразу оговориться вот о чем, будь внимателен:

То есть, тебе не надо знать вообще никаких формул, чтобы спокойно ответить, что уравнения, например:

\( \displaystyle sinx=1000\)\( \displaystyle cos\left( 3{x}-sin\left( x \right) \right)=2\)\( \displaystyle sin\left( 2{{x}^{2}}-2x+1 \right)=-3\)Корней не имеют!!!

Почему?

Потому что они «не попадают» в промежуток от минус единицы до плюс единицы.

Ещё раз скажу: внимательно обдумай эти слова, они уберегут тебя от многих глупых ошибок!!!

Решение линейных тригонометрических уравнений

Пример 2. Найдите корни уравнения

принадлежащие промежутку

Решение. Подобные уравнения решаются один весьма интересным, на мой взгляд, способом. Разделим обе части на , уравнение тогда примет вид:

Подберем такое число, синус которого равен а косинус равен Например, пусть это будет число . С учетом этого перепишем уравнение в виде:

Присмотревшись, слева от знака равенства усматриваем разложение косинуса разности и Это и есть ключ к решению. Имеем:

Осуществляем отбор решений, входящих в промежуток :

1)

2) 

Задача для самостоятельного решения №2. Найдите корни уравнения принадлежащие промежутку

Показать ответ
Ответ:

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются уравнения `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, где `x` — угол, который нужно найти, `a` — любое число. Запишем для каждого из них формулы корней.

1. Уравнение `sin x=a`.

При `|a|>1` не имеет решений.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное число решений.

Формула корней: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

Таблица арксинусов

2. Уравнение `cos x=a`

При `|a|>1` — как и в случае с синусом, решений среди действительных чисел не имеет.

При `|a| \leq 1` имеет бесконечное множество решений.

Формула корней: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Таблица арккосинусов

Частные случаи для синуса и косинуса в графиках.

3. Уравнение `tg x=a`

Имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арктангенсов

4. Уравнение `ctg x=a`

Также имеет бесконечное множество решений при любых значениях `a`.

Формула корней: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Таблица арккотангенсов

Два основных метода решения тригонометрических уравнений

А сейчас мы с вами перейдем к рассмотрению основных методов решения тригонометрических уравнений. Для этих целей, как правило, используют:

• во-первых, метод введения новой переменной;
• во-вторых, способ разложения на множители.

А сейчас давайте вернемся немного назад и вспомним, как на третьем примере мы с вами решили тригонометрическое уравнение:

Вспомним, что мы сделали в первую очередь. Во-первых, ввели новую переменную ю z = sin t, а потом переписали уравнение, которое приобрело такой вид:

В итоге, мы с вами получили два простых уравнения:

Из сделанных ранее выводов мы увидели, что первое уравнение не имеет решения. А вот второе имеет их целых два:

Далее мы увидели, что их можно объединить одной формулой

Вспомните, как было решено это тригонометрическое уравнение:

Пример 4. Решим следующее уравнение.

Решение.

Возьмем уравнение:

Попробуем в него ввести новую переменную:

Смотрим, что это нам даст. А это нам позволит записать уравнение, которое имеет более простой вид:

Смотрим, что мы имеем:

Теперь вернемся к переменной х, ну и в итоге получим уже два уравнения:

С методом введения новой переменной мы уже выяснили, а сейчас попробуем решить тригонометрическое уравнение вторым способом, методом разложения на множители.
В принципе, с этим методом вы также знакомы.

Берем уравнение f(х) =0 и пробуем преобразовать его к такому виду:

Для этого нам нужно решить два уравнения:

Пример 5. В следующем примере решение задачи также сводится к решению совокупности уравнений

Решение.

И соответственно из этих уравнений у нас выходит:

Пример 6. Следующее уравнение решаем по такому же принципу.

Решение.

Нам дано следующее уравнение:

Следовательно, приходим к совокупности уравнений:

Замечание. Тут необходимо учесть то, что не всегда переход от уравнения:

к совокупности уравнений:

Является безопасным.

Например, берем уравнение:

С помощью уравнения tg x = 0 находим х = пn, а из уравнения sin x = 1 находим

Но здесь присутствует одно «но», так как включить обе серии решений в ответ нельзя.

Так как при значении

Его множитель tg х не имеет смысла, другими словами он не имеет значения, так как не является областью определения уравнения, т.е. – это посторонние корни.

Комбинированные уравнения

При решении уравнений этого типа важно обращать внимание на область допустимых значений входящих в него переменных. Именно поэтому составители вариантов ЕГЭ не просят учеников осуществлять отбор решений из полученных серий ответов. Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции

Решение этих уравнений само собой подразумевает выполнение данной математической операции.

Пример 5. Решите уравнение:

Решение. Данное уравнение эквивалентно следующей системе:

Обратите внимание! Писать, что нет никакой необходимости, поскольку по условию это выражение равно выражению  которое, в свою очередь, больше или равно нулю

Нужно, чтобы  поразмыслив, понимаем, что поэтому из полученной серии ответов нам подходят только

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №5. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

Пример 6. Решите уравнение:

Решение. Данное уравение равносильно системе:

Тригонометрическая функция синус положительна в первой и второй координатной четвертях, поэтому из полученных серий выбираем только эту:

Раз уж мы с этим столкнулись, не лишним будет повторить, какие знаки принимают тригонометрические функций в различных координатных четвертях:

Знаки функций, входящих в тригонометрические уравнения, по координатным четвертям

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №6. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ:

Пример 7. Решите уравнение:

Решение. Область допустимых значения уравнения определяется условием: то есть Разобьем решение на два случая:

1) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Последнее равенство неверно, поэтому в данном случае решений у уравнения не будет.

2) Пусть тогда уравнение принимает вид:

Условию удовлетворяет только последняя серия.

Ответ:

Задача для самостоятельного решения №7. Решите уравнение:

Показать ответ
Ответ: 

ЕГЭ по математике 2012 позади, все в ожидании результатов, которые обещали объявить во вторник 19 июня. Сейчас уже поздно желать высоких баллов на экзаменах нынешним выпускникам. Но вот пожелать успехов сегодняшним десятиклассникам я возможности не упущу. Удачи вам в подготовке и помните, что чем раньше она начнется, тем лучше будут результаты на экзамене.

Репетитор математикиСергей Валерьевич