Гдз: алгебра 7 класс мерзляк — дидактические материалы

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решаем:

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
      
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
                  
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.
              

Универсальный алгоритм решения

1. Определить область допустимых значений.

                   

2. Найти общий знаменатель.

                   

3. Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

                   

4. Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

                   

5. Решить полученное уравнение.

                   

6. Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

                   

7. Записать ответ, который прошел проверку.

               

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Сравнение дробей 7 класс

Для того, чтобы научиться сравнивать дроби, нужно узнать несколько способов по их сравнению, и выбрать для себя более понятный и удобный.

Основные правила сравнения дробей:

В первом правиле мы сравниваем только числители, так как знаменатели равны. Мы уже говорили, что знамен.-это общее количество долей, а числитель показывает сколько их взято из общего, следовательно, чем больше долей взято, тем и дробь соответственно больше.

При одинаковых числ-х сравнивают только знамен. Чем он меньше, тем больше дробь. Разберемся, почему так. К примеру разделите 10 на 5 и 10 на 2, очевидно, что второе частное больше первого. Поэтому, если сравнить 10/5 и 10/2, то 10/2 будет больше.

В десятичных дробях мы сравниваем их соответствующие целые части и дробные. Если первые равны, то мы сравниваем десятые, сотые и т.д. Поэтому для сравнения мы должны уравнивать количество дес.знаков.

Также можно сравнить две обыкн.дроби используя число, которое находится в ряду между ними. Какая из дробей окажется больше этого числа, та и будет большей в примере.

Вот несколько интересных способов, как можно сравнить дроби:

Если от вас требуется сравнить десятичную и обыкновенную дроби, можно перевести одну из них в более удобную для вас. И сравнивать вы уже будите либо обыкновенные, либо десятичные.

Еще один хороший способ, дополнить до единицы. Чем больше нужно добавить дроби, чтобы получить целое, тем она будет меньше.

Можно использовать и перекрестное правило,  как в пропорции. Для этого умножаем смотрящие друг на друга числители и знаменатели.

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
      
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
       
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Деление и умножение дробей 7 класс

Разберем сразу примеры, так как правила уже обговорены выше.

В примере выше требуется разделить алгебраические дроби, содержащие выражения со степенью

Здесь важно вспомнить, что при сокращении степеней мы вычитаем из большей степени меньшую

Первую дробь мы оставили без изменений, вторую перевернули, заменив действие на умножение. Теперь ищем, что можно сократить. Сначала смотри на числовые коэффициенты. Сокращаем 7 и 35, 9 и 18. Затем сокращаем буквенную часть.

Для удобства возьмите каждый многочлен в скобки. Мы видим, что сразу можно сократить скобку (7-х). Многие допускают ошибку, считая что (a-b)  и (a+b) сократимы, это большая ошибка. Ведь к примеру, 5-2 и 5+2 совершенно разные выражения.

Примеры 7 класс как решать

Теперь закрепим решение дробей на примерах.

Решение примера, представленного ниже:

1. Видим, что присутствует как обыкновенная дробь, так и десятичные. Нужно привести к одному виду. Так как десятичных больше, и превратить 1/4 в этот вид проще, то делим 1 на 4, а целую часть сохраняем. Вышло 5,25.
2. Далее умножаем — 3 на каждое число в скобках, внимательно следим за знаками.
3. Остается от 10,4 отнять  9,3. В итоге вышло 1,1.

Но можно было решить проще. Первое действие всегда в скобках. Поэтому от 5,25 отнимаем 2,15. Получится 3,1. Умножаем ее на 3  — вышло 9,3. И отнимаем: 10,4 — 9,3 = 1,1. Этот способ даже проще, потому что не нужно следить за знаками при раскрытии скобок.

Чтобы верно решить следующий пример, нужно:

• точно проставить порядок действий (умножение и деление делаем в первую очередь, затем складываем);
• Умножить десятичные дроби столбиком, не забыть поставить запятую;
• деление здесь простое: переставили запятую на один знак вправо, поделили, получили -2.
• сложили числа.

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Уравнения с дробями 7 класс на примерах с пояснением

Уравнения с дробями можно решить используя пропорцию, или светси решение к этому. Первое уравнение и ему подобные очень просто и быстро решается пропорцией. Используем умножение <<крест на крест>>.

Бывают и более сложные уравнения, которые нужно преобразовать.

Здесь уже нужно вспомнить правило умножения скобки на число или раскрытие скобок. На число перед скобкой умножаем каждое слагаемое в скобке. Значит 7 умножим и на 2, и на (-х). Далее решаем как обычное линейное уравнение.

В следующем уравнении разберем два способа решения.

Первый вариант решения основывается на избавлении от знаменателей, дабы превратить дробное уравнение в линейное. Для этого умножаем каждое слагаемое на общий для дробей знаменатель. В нашем случае 45.

Сокращаем и получаем линейное уравнение. Раскрываем в нем скобки, находим подобные слагаемые.

Вторым вариантом будет приведение к общему знаменателю в правой части, и сведению решения к пропорции.

Программа по алгебре

ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев: каждый ученик, переходящий в старшие классы понимает, что дальше придется прикладывать много сил и тратить больше времени на изучение материала. Многие задумываются о помощнике, который поможет детально разобрать поставленную задачу. В седьмом классе ученикам нужно постараться освоить много чего нового, что касается дисциплины и новых предметов.

Алгебра считается одним из самых сложных предметов в школьной программе. Придется совершать математические вычисления, которые далее будут набирать серьезные обороты. Именно теперь нужно осваивать новые формулы, уравнения и понятия

На этот сложный период важно не только быть на каждом уроке, но и стараться уделять много внимания изучению нового материала

Пропустив разъяснение, станет намного сложнее добиться хороших оценок и знаний. На момент изучения материала нужно концентрироваться на заданиях и стараться самостоятельно найти решение задачи. Семиклассникам необходимо за курс освоить множество тем:

• вычисления разнообразных значений;
• числовые и переменные выражения;
• сравнения и их корни;
• размах, мода и статистические характеристики;
• линейные уравнения, функции и графики;
• пропорциональность, степени и различные действия с ними;
• одночлены и многочлены.

Данные разделы включают в себя множество параграфов, поэтому предстоит проделать большую работу. Помимо теории придется осваиваться используя практику. Нужно будет выполнить различные задания, поняв всё без помощи учителя или учебников с решением задач, ведь только в таком случае можно получить знания.

Вместе это создает большую нагрузку, которая часто выбивает многих учеников из колеи. В этом классе уже не нужно рассчитывать на поддержку со стороны взрослых. Необходимо самостоятельно справляться с поставленными задачами. В любом случае на помощь придет решебник к пособию «Алгебра 7 класс Учебник Макарычев, Миндюк, Нешков Просвещение». Он содержит в себе полноценную информацию по курсу этого года.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Как решаем:

1. Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   6x −5x = 10

2. Приведем подобные и завершим решение.

   x = 10

Ответ: x = 10.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

Как решаем:

1. Разделим обе части на −4, чтобы коэффициент при неизвестной стал равен единице.

   −4x = 12 | : (−4)
   x = −3

Ответ: x = −3.

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Алгоритм решения простого линейного уравнения
Раскрываем скобки, если они есть. Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую. Приводим подобные члены в каждой части уравнения. Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
      
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа.              Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;                  если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;                  если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Как применять ГДЗ?

Многие ребята самостоятельно не могут справиться с поставленной задачей, поэтому начинают тратить массу времени на выполнение домашнего задания. В наши дни существуют не только настоящие, но и онлайн решебники. С одной стороны ничего страшного в его использовании нет, но это надо делать только по мере необходимости. Чрезмерное списывание плохо сказывается на знаниях и осваивании материала. Контрольные работы и многие другие проверки в большом количестве случаев закончатся провалом.

Насколько полезен решебник?

Чтобы получить от решебника к пособию «Алгебра 7 класс Учебник Макарычев» реальную пользу необходимо относится к нему как к обычному учебнику, а не источнику для получения ответов. На момент выполнения задания необходимо понять свои ошибки и прийти к их пониманию. Только в таком случае можно получить знания и после на отлично сдать проверки. На момент такого подхода можно обеспечить гармоничное сочетание полноценных знаний, отличного понимания предмета и соответствующих навыков.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ГЛАВА I. ВЫРАЖЕНИЯ. ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

§ 1. Выражения1. Числовые выражения 2. Выражения с переменными 3. Сравнение значений выражений

§ 2. Преобразование выражений4. Свойства действий над числами 5. Тождества. Тождественные преобразования выражений

§ 3. Уравнения с одной переменной6. Уравнение и его корни 7. Линейное уравнение с одной переменной 8. Решение задач с помощью уравнений

§ 4. Статические характеристики9. Среднее арифметическое, размах и мода 10. Медиана как статическая характеристика 11. ФормулыДополнительные упражнения к главе Iк Параграфу 1к Параграфу 2к Параграфу 3к Параграфу 4

ГЛАВА II. ФУНКЦИИ

§ 5. Функции и их графики12. Что такое функция 13. Вычисление значений функции по формуле 14. График функции

§ 6. Линейная функция15. Прямая пропорциональность и ее график 16. Линейная функция и ее график 17. Задание функции несколькими формуламиДополнительные упражнения к главе IIк Параграфу 5к Параграфу 6

ГЛАВА III. СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

§ 7. Степень и ее свойства18. Определение степени с натуральным показателем 19. Умножение и деление степеней 20. Возведение в степень произведения и степени

§ 8. Одночлены21. Одночлен и его стандартный вид 22. Умножение одночленов. Возведение одночлена в степень 23. Функции y=x² и y=x³ и их графики 24. О простых и составных числах Дополнительные упражнения к главе IIIк Параграфу 7к Параграфу 8

ГЛАВА IV. ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев — МНОГОЧЛЕНЫ

§ 9. Сумма и разность многочленов25. Многочлен и его стандартный вид 26. Сложение и вычитание многочленов

§ 10. Произведение одночлена и многочлена27. Умножение одночлена на многочлен 28. Вынесение общего множителя за скобки

§ 11. Произведение многочленов29. Умножение многочлена на многочлен 30. Разложение многочлена на множители способом группировки 31. Деление с остатком Дополнительные упражнения к главе IVк Параграфу 9к Параграфу 10к Параграфу 11

ГЛАВА V. ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ § 12. Квадрат суммы и квадрат разности32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности 33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности

§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов34. Умножение разности двух выражений на их сумму 35. Разложение разности квадратов на множители 36. Разложение на множители суммы и разности кубов

§ 14. Преобразование целых выражений37. Преобразование целого выражения в многочлен 38. Применение различных способов для разложения на множители 39. Возведение двучлена в степень Дополнительные упражнения к главе Vк Параграфу 12к Параграфу 13к Параграфу 14

ГЛАВА VI. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ§ 15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы40. Линейное уравнение с двумя переменными 41. График линейного уравнения с двумя переменными 42. Системы линейных уравнений с двумя переменными

§ 16. Решение систем линейных уравнений43. Способ подстановки 44. Способ сложения 45. Решение задач с помощью систем уравнений 46. Линейные неравенства с двумя переменными и их системы Дополнительные упражнения к главе VIк Параграфу 15к Параграфу 16

Сложение и вычитание дробей 7 класс

Никогда не начинайте выполнять действия не упростив выражения. Выполните все возможные преобразования и пример решится намного легче и быстрее. Также числители второй и последующих дробей при сложении и вычитании стоит взять в скобки. Очень часто возникают ошибки только из-за одного неправильно поставленного знака. Будьте внимательны.

Если перед скобкой стоит <<+>>, раскрываем ее, не меняя знаки внутри. Если << — >>, то все меняем на противоположные.

Пример.

Знаменатели совершенно одинаковые, находим сумму числ. Приведите подобные, это с и 2с, d и -d, которые в свою очередь взаимно уничтожаются, так как имеют разные знаки. В итоге остается с+2с = 3с. Ответ: 3с/2а.

Все намного проще, если знам. одинаковые. С разными нужно немного подумать.

Пример.

В примере два знам. 15а и 3. Нам нужно найти общий. В этом случае проще домножить 3 так, чтобы получить 15а. Для этого 3 умножаем на 5а. Но чтобы действие было верным, применяем основное свойство дроби, и на 5а умножим еще и числитель. Далее складываем дроби с один.знам.

Как решать систему уравнений алгебра 7 класс

Системой называют несколько уравнений, в которых нужно найти такие значения неизвестных, чтобы равенство сохранилось. Разберемся на примерах, как выглядят системы и какие методы их решения существуют.

метод подстановки

Из самого названия следует, что алгоритм требует что-то подставлять. Ниже представлена система, где нужно найти значения x и y.

Алгоритм решения:

Смотрим на систему. Видим, что удобнее будет выразить x во втором уравнении (так как он один). Выражаем путем переноса за знак «равно» 12y. Получилось: x = 11 — 12y (не забываем менять знак при переносе числа).

В первое уравнение вместо «x» записываем получившееся выражение. Меняем только x, остальное сохраняется в прежнем виде.

Далее преобразуем уравнение, в которое поместили выражение. Раскрываем скобки (перемножаем 5 на каждое значение). y оставляем в левой части, числа переносим в правую, знаки меняем. Таким образом нашли значение y (y = 1).

Теперь подставляем полученную единицу во второе уравнение (x = 11 — 12y).

метод сложения

Чтобы решить систему методом сложения, нужно из двух уравнений сделать одно. Просто складываем первое и второе. Здесь «y» просто сократились, и получилось простое уравнение. Как только нашли значение «х», нужно подставить его в любой пример (здесь поставили во второе уравнение). В ответе пишется так: (4; 3) — первым всегда пишется х, затем у.

графический метод

У нас есть система, где y = 5x и y = -2x + 7. Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений:

1. Подбираем 2 числа для х. Мы взяли 0 и 1, подставляем в первое уравнение: y = 5 * 0 = 0; у = 5 * 1 = 5. Значит первая прямая имеет координаты: (0; 0) и (1; 5).
2. Для второго уравнения подбираем значения х. Взяли 3 и 2, подставляем и находим у: -2 * 3 + 7 = 1; -2 * 2 + 7 = 3. Значит прямая имеет координаты (3; 1) и (2; 3).
3. Отмечаем на графике соответствующие прямые, подписываем их название.
4. на месте пересечения получившихся прямых ставим точку — это будет решение.
5. Точка имеет координаты (1; 5).

Выбирайте самый удобный способ решения. Третий метод — графический, считают самым неточным.