Умножение и деление дробей

Действия с Дробями

Дробить — значит разбивать на более мелкие части. И в математике дробь — это что-то меньше, чем целая единица. Мне нравится использовать для примера тортики. Почему-то ученики с удовольствием придумывают способы для того, чтобы разделить тортики на несколько равных частей. Собственно, это и есть применение математики в жизни.

Если мы разделим тортик на две части, то их называют половинки, или если в виде
дроби — «одна вторая».

1 число над дробью называется ЧИСЛИТЕЛЬ, он показывает какое количество (ЧИСЛО) частей мы взят.
2 число под дробью называется ЗНАМЕНАТЕЛЬ, он показывает на сколько равных частей мы разбили целое (тортик, например)

Если ученик сам не смог вспомнить — как называются числитель и знаменатель, то надо ему на них показать, назвать и попросить самому дать определения этим словам, а потом потренировать, показывая ему на примеры дробей. Эти слова часто используют
в математике, физике и даже просто в жизни: вы слышали когда-нибудь — «надо их к одному знаменателю привести»? «Привести», кстати, в математике означает не «переместить к нужному пункту что-то или кого-то». Как «привести машину к подъезду».

В математике «привести» — значит сделать действия в соответствии с правилами, чтобы получилось что-то одно или одинаковое с чем-то. То есть надо сделать так, чтобы у дробей были одинаковые знаменатели.
Попросите ученика разделить «тортики» (круги) на 4 равные части, на 8 частей,
на 3 части. Пусть поищут способы, чтобы части были равными.

Скажите, что когда делим на 4 части, то одна из частей называется одна ЧЕТВЁРТАЯ,
две таких части — две четвёртых, три — три четвертых. Пусть он попрактикуется в названии разных дробей пока не поймёт это очень хорошо.
Потом спросите — как нам сложить одинаковые части? Одна четвёртая и одна четвёртая будет сколько? Правильно — две четвёртых. То есть, если мы складываем дроби с одинаковым знаменателем — мы не трогаем знаменатели, они остаются теми же,
а числители складываем. Если ученик будет складывать знаменатели (например, одна вторая и одна вторая у него будет получаться две четвёртых, а это неверно!), попросите его
нарисовать на тортике — что у него получается, какие части торта и пусть он сравнит наглядно с тем, что должно получиться при правильном сложении.
Далее нам надо сложить дроби с разными знаменателями. Если у него трудности, то мы объясняем, как это делается на таком примере:

Умножение десятичных дробей на 10, 100, 1000

Умножение десятичных дробей на 10, 100 или 1000 выполняется таким же образом, как и умножение десятичных дробей на обычные числа. Нужно выполнить умножение, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби, затем в ответе отделить целую часть от дробной, отсчитав справа столько же цифр, сколько было цифр после запятой в десятичной дроби.

Например, умножим 2,88 на 10

Умножим десятичную дробь 2,88 на 10, не обращая внимания на запятую в десятичной дроби:

Получили 2880. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дроби 2,88. Видим, что в дроби 2,88 после запятой две цифры.

Возвращаемся к числу 2880 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 28,80. Отбросим последний ноль — получим 28,8. Значит значение выражения 2,88×10 равно 28,8

2,88 × 10 = 28,8

Есть и второй способ умножения десятичных дробей на 10, 100, 1000. Этот способ намного проще и удобнее. Он заключается в том, что запятая в десятичной дроби передвигается вправо на столько цифр, сколько нулей во множителе.

Например, решим предыдущий пример 2,88×10 этим способом. Не приводя никаких вычислений, сразу же смотрим на множитель 10. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём один ноль. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на одну цифру, получим 28,8.

2,88 × 10 = 28,8

Попробуем умножить 2,88 на 100. Сразу же смотрим на множитель 100. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём два нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на две цифры, получаем 288

2,88 × 100 = 288

Попробуем умножить 2,88 на 1000. Сразу же смотрим на множитель 1000. Нас интересует сколько в нём нулей. Видим, что в нём три нуля. Теперь в дроби 2,88 передвигаем запятую вправо на три цифры. Третьей цифры там нет, поэтому мы дописываем ещё один ноль. В итоге получаем 2880.

2,88 × 1000 = 2880

Дроби — коротко о главном

Определения:

Делимое \(\displaystyle a\) – числитель дроби, а делитель \(\displaystyle b\) – знаменатель дроби.

Например: \(\displaystyle\frac{2}{5}\), \(\displaystyle\frac{1}{7}\) и так далее.

Например: \(\displaystyle\frac{9}{5}\), \(\displaystyle\frac{13}{2}\) и так далее.

Например: \(\displaystyle2\frac{2}{5}\)\( \displaystyle  \displaystyle=\frac{2\cdot 5}{5}+\frac{2}{5}=\frac{10}{5}+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}\).

Например: \(\displaystyle\frac{9}{100}\) в виде десятичной дроби записывается как \(\displaystyle0,09\),

\(\displaystyle\frac{225}{1000}\) записывается как \(\displaystyle0,225\).

Основное свойство дроби: 

Например: \(\displaystyle\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{2}{10}\).

Действия с дробями:

Сложение/вычитание дробей

• две дроби с одинаковыми знаменателями: складываем/вычитаем их числители, а знаменатель оставляем без изменений: \(\displaystyle\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\)
• две обыкновенные дроби с разными знаменателями:
  • приводим дроби к наименьшему общему знаменателю;
  • складываем/вычитаем числители дробей, а знаменатель оставляем без изменений;
  • сокращаем полученную дробь
• две смешанные дроби с разными знаменателями: 
  • приводим дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю;
  • по-отдельности складываем/вычитаем целые части и дробные части;
  • если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделяем целую часть из этой дроби и прибавляем ее к полученной целой части / если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превращаем ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу, целую часть;
  • сокращаем полученную дробь.

Умножение дробей

• умножение дроби на натуральное число: числитель умножаем на число, а знаменатель оставляем неизменным
• умножение двух обыкновенных дробей: 
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем полученную дробь
• умножение двух смешанных чисел: 
  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • перемножаем числители и знаменатели дробей;
  • сокращаем полученную дробь;
  • если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Деление дробей

• деление дроби на натуральное число: знаменатель дроби умножаем на число, а числитель оставляем неизменным
• деление натурального числа на дробь: число умножаем на дробь обратную данной
• деление обыкновенных дробей: умножаем первую обыкновенную дробь на дробь, обратную второй
• деление двух смешанных чисел: 
  • преобразовываем смешанные дроби в неправильные;
  • умножаем первую дробь на дробь, обратную второй; (3) сокращаем полученную дробь; (4) если получилась неправильная дробь преобразовываем ее в смешанную.

Сокращение дроби

Например: \(\displaystyle\frac{5}{15}=\frac{5:5}{15:5}=\frac{1}{3}\).

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

• найдите наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель);
• разделите наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найдите для каждой дроби дополнительный множитель;
• умножьте числитель и знаменатели каждой дроби на ее дополнительный множитель.

Например: \(\displaystyle\frac{1}{3}\) и \(\displaystyle\frac{3}{4}\). Наименьший общий знаменатель — \(\displaystyle12\).

Дополнительный множитель первой дроби — \(\displaystyle12:3=4\), дополнительный множитель второй дроби — \(\displaystyle12:4=3\).

Следовательно: для первой дроби: \(\displaystyle\frac{1\cdot 4}{3\cdot 4}=\frac{4}{12}\), для второй дроби: \(\displaystyle\frac{3\cdot 3}{4\cdot 3}=\frac{9}{12}\).

Преобразования неправильной дроби в смешанную дробь

• поделите числитель дроби на ее знаменатель;
• остаток от деления запишите в числитель, знаменатель оставьте прежним;
• результат от деления запишите в качестве целой части.

Например: \(\displaystyle\frac{17}{4}\) = \(\displaystyle4\frac{1}{4}\).

Сравнение дробей:

• две дроби с одинаковыми знаменателями: больше та дробь, числитель которой больше
• две дроби с одинаковыми числителями: больше та дробь, знаменатель которой меньше
• две обыкновенные дроби: после приведения дробей к общему знаменателю, больше та дробь, числитель которой больше

5 класс Смешанные дроби (памятка ученику)

Смешанные дроби

Смешанная Неправильная

5 =

Сложение и вычитание смешанных дробей

Чтобы сложитьсмешанные числа, нужно:

1) привести к наименьшему общему знаменателю дробные части;

2) сложить отдельно целые и дробные части;

3) если необходимо, сократить дробную часть;

4) если дробная часть суммы окажется неправильной дробью, выделить из нее целую часть и полученное число прибавить к целой части суммы.

Например:

Чтобы вычестьсмешанные числа, нужно:

1) привести к наименьшему общему знаменателюдробные части;

2) если дробные части «не вычитаются» (дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого),то нужно «занять» единицу из целой части;

3) вычесть отдельно целые и дробные части;

4) если необходимо, сократить дробную часть.

Например:

Например:

Смешанные дроби

Сложение

1 шаг: к общ. знам. (НОЗ)

2 шаг: +цел1+цел2,

др1+др2 (числ1+числ2)

3 шаг: неправ. смеш.

4 шаг: сократить

Вычитание

1 шаг: к общ. знам. (НОЗ)

2 шаг: занять ед. (если нужно)

3 шаг: — цел1 — цел2

др1 — др2 (числ1 — числ2)

4 шаг: сократить

Умножение

1 шаг: смеш. неправ.

2 шаг: числ1 числ2

зн1 зн2 сократить!

3 шаг: вычислить

4 шаг: неправ. смеш.

Деление

1 шаг: смеш. неправ.

2 шаг: числ1 зн2

зн1 числ2 сократить!

3 шаг: вычислить

4 шаг: неправ. смеш.

Нахождение числа по его дроби

Для решения задач, в которых требуется найти целое по его части справедливо следующее правило:

Если часть искомого целого выражена дробью, то чтобы найти это целое, можно данную часть разделить на числитель дроби и результат умножить на её знаменатель.

Задача 1. Потратили  50  рублей, это составило    от первоначальной суммы. Найдите первоначальную сумму денег.

Решение: Из описания задачи мы видим, что  50  рублей в  6  раз меньше первоначальной суммы, т. е. первоначальная сумма в  6  раз больше, чем  50  рублей. Чтобы найти эту сумму, надо  50  умножить на  6:

50 · 6 = 300 (р.).

Ответ: Первоначальная сумма —  300  рублей.

Задача 2. Потратили  600  рублей, это составило    от первоначальной суммы денег. Найдите первоначальную сумму.

Решение: Будем считать, что искомое число состоит из трёх третьих долей. По условию две трети числа равны  600  рублей. Сначала найдём одну треть от первоначальной суммы, а затем сколько рублей составляют три третьих (первоначальная сумма):

600 : 2 · 3 = 900 (р.).

Ответ: Первоначальная сумма —  900  рублей.

Второй способ нахождения целого по его части:

Чтобы найти целое по величине выражающей его часть, можно разделить эту величину на дробь, выражающую данную часть.

Задача 3. Отрезок  AB,  равный  42  см, составляет    длины отрезка  CD.  Найти длину отрезка  CD.

Решение:

Ответ: Длина отрезка  CD  70  см.

Задача 4. В магазин привезли арбузы. До обеда магазин продал  , после обеда —    привезённых арбузов, и осталось продать  80  арбузов. Сколько всего арбузов привезли в магазин?

Решение: Сначала узнаем, какую часть от привезённых арбузов составляет число  80.  Для этого примем за единицу общее количество привезённых арбузов и вычтем из неё то количество арбузов, которое получилось реализовать (продать):

Итак, мы узнали, что  80  арбузов составляет    от общего количества привезённых арбузов. Теперь узнаем сколько арбузов от общего количества составляет  ,  а затем сколько арбузов составляют    (количество привезённых арбузов):

2) 80 : 4 · 15 = 300 (арбузов).

Ответ: Всего в магазин привезли  300  арбузов.

Суть дроби

Перед тем, как узнать что такое дробь, ребенок должен познакомиться с понятием доля. Здесь лучше всего подойдет ассоциативный метод.

Представьте целый торт, который поделили на несколько равных частей, допустим на четыре. Тогда каждый кусочек торта, можно назвать долей. Если взять один из четырех кусков торта, то он будет одной четвертой долей.

Доли бывают разные, потому что, целое можно поделить на совершенно разное количество частей. Чем больше долей в целом, тем они меньше, и наоборот.

Чтобы доли можно было обозначить, придумали такое математическое понятие, как обыкновенная дробь. Дробь позволит нам записать столько долей, сколько потребуется.

Составными частями дроби являются числитель и знаменатель, которые разделены дробной чертой либо наклонной чертой. Многие дети не понимают их смысла, поэтому и суть дроби им не понятна. Дробная черта обозначает деление, здесь нет ничего сложного.

Знаменатель принято записывать снизу, под дробной чертой или справа от накл.черты. Он показывает количество долей целого. Числитель, он записывается сверху над дробной чертой или слева от накл.черты, определяет сколько долей взяли.К примеру дробь 4/7. В данном случае 7-это знаменатель, показывает, что есть всего 7 долей, а числитель 4 указывает на то, что из семи долей взяли четыре.

Основные доли и их запись в дробях:

Помимо обыкновеной, существует еще и десятичная дробь.

Деление десятичной дроби на обычное число

Десятичная дробь, как мы знаем состоит из целой и дробной части. При делении десятичной дроби на обычное число в первую очередь нужно:

• разделить целую часть десятичной дроби на это число;
• после того, как целая часть будет разделена, нужно в частном сразу же поставить запятую и продолжить вычисление, как в обычном делении.

Например, разделим 4,8 на 2

Запишем этот пример уголком:

Теперь разделим целую часть на 2. Четыре разделить на два будет два. Записываем двойку в частном и сразу же ставим запятую:

Теперь умножаем частное на делитель и смотрим есть ли остаток от деления:

4−4=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем, поскольку решение не завершено. Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 8 и делим её на 2

8 : 2 = 4. Записываем четвёрку в частном и сразу умножаем её на делитель:

Получили ответ 2,4. Значение выражения 4,8 : 2 равно 2,4

 Пример 2. Найти значение выражения 8,43 : 3

Делим 8 на 3, получаем 2. Сразу же ставим запятую после двойки:

Теперь умножаем частное на делитель 2 × 3 = 6. Записываем шестёрку под восьмёркой и находим остаток:

Далее продолжаем вычислять, как в обычном делении. Сносим 4

Делим 24 на 3, получаем 8. Записываем восьмёрку в частном. Сразу же умножаем её на делитель, чтобы найти остаток от деления:

24−24=0. Остаток равен нулю. Ноль пока не записываем. Сносим последнюю тройку из делимого и делим на 3, получим 1. Сразу же умножаем 1 на 3, чтобы завершить этот пример:

Получили ответ 2,81. Значит значение выражения 8,43 : 3 равно 2,81

Умножение десятичных дробей

Умножение десятичных дробей это просто и даже увлекательно. Чтобы перемножить десятичные дроби, нужно перемножить их как обычные числа, не обращая внимания на запятые.

Получив ответ, необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Чтобы сделать это, надо посчитать количество цифр после запятой в обеих дробях, затем в ответе отсчитать справа столько же цифр и поставить запятую.

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 × 1,5

Перемножим эти десятичные дроби как обычные числа, не обращая внимания на запятые. Чтобы не обращать внимания на запятые, можно на время представить, что они вообще отсутствуют:

Получили 375. В этом числе необходимо отделить запятой целую часть от дробной. Для этого нужно посчитать количество цифр после запятой в дробях 2,5 и 1,5. В первой дроби после запятой одна цифра, во второй дроби тоже одна. Итого две цифры.

Возвращаемся к числу 375 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать две цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 3,75. Значит значение выражения 2,5 × 1,5 равно 3,75

2,5 × 1,5 = 3,75

Пример 2. Найти значение выражения 12,85 × 2,7

Перемножим эти десятичные дроби, не обращая внимания на запятые:

Получили 34695. В этом числе нужно отделить запятой целую часть от дробной. Для этого необходимо посчитать количество цифр после запятой в дробях 12,85 и 2,7. В дроби 12,85 после запятой две цифры, в дроби 2,7 одна цифра — итого три цифры.

Возвращаемся к числу 34695 и начинаем двигаться справа налево. Нам нужно отсчитать три цифры справа и поставить запятую:

Получили ответ 34,695. Значит значение выражения 12,85 × 2,7 равно 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Как научить ребенка легко решать дроби с помощью лего

С помощью такого конструктора можно не только хорошо развивать воображение ребенка, но и объяснить наглядно в игровой форме, что такое доля и дробь.

На картинке ниже показано, что одна часть с восемью кружками это целое. Значит, взяв пазл с четырьмя кружками, получается половина, или 1/2. На картинке наглядно показано, как решать примеры с лего, если считать кружки на деталях.

Вы можете построить башенки из определенного количества частей и подписать каждую из них, как на картинке ниже. Например возьмем башенку из семи частей. Каждая часть зеленого конструктора будет 1/7. Если вы к одной такой части добавите еще две, то получится 3/7. Наглядное объяснение примера 1/7+2/7 = 3/7.

Правила по математике 5-6 класс

Правила по математике 5-6 класс:

1. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. ( основное свойство дроби)

2. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, та дробь больше, числитель которой больше.

3. Из двух дробей с одинаковыми числителями та дробь больше, знаменатель которой меньше.

4. Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю, а затем применить правило сравнения дробей с общим знаменателем.

5. Правильная дробь меньше 1, а неправильная дробь больше или равна 1.

6. Сумма дробей с общим знаменателем есть дробь, числитель которой равен сумме числителей, а знаменатель равен знаменателю данных дробей.

7. Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями, их надо привести к общему знаменателю, а затем применить правило сложения дробей с общим знаменателем.

8. Произведение двух дробей есть дробь, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель – произведению знаменателей этих дробей.

9. Чтобы умножить натуральное число на дробь, нужно числитель дроби умножить на это натуральное число, а знаменатель оставить тот же.

10. Произведение взаимно обратных чисел равно 1.

11. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

12. Чтобы разделить дробь на натуральное число, нужно её знаменатель умножить на это число.

13. Сумму натурального числа и правильной дроби называют смешанной дробью.

14. Чтобы сложить смешанные дроби, надо сложить отдельно их целые и их дробные части и полученные результаты сложить.

15. Чтобы умножить или разделить смешанные дроби, нужно записать их в виде неправильных дробей и выполнить действия с обыкновенными дробями.

16. Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину.

17. Периметр прямоугольника равен сумме длин сторон прямоугольника.

18. Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

19. Периметр квадрата равен сумме сторон.

20. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений.

21. Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, нужно:

1. уравнять в этих дробях количество знаков после запятой;

2. записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой;

3. выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую;

4. поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях.

22.Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1. умножить её на это число, не обращая внимания на запятую;

2. в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

1. Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

2. Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо:

1. разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

2. поставить в частном запятую, когда кончится деление целой части.

1. Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

2. Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:

1. выполнить умножение, не обращения внимания на запятые;

2. отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

1. Умножить число на 0,1; 0,01; 0.001 – то же самое, что разделить его на 10, 100, 1000. Для этого надо перенести запятую влево на столько цифр, сколько нулей стоит перед единицей в множителе.

2. Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо:

1. в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

2. после этого выполнить деление на натуральное число.

28.Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001, надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).

29.Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых.

30.Процентом называют одну сотую часть.

31. Средняя скорость — отношение всего пройденного пути на всё время движения.

32. Простым числом называют такое натуральное число, которое больше единицы и делится только на 1 и само на себя.

33. Если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

34. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

35. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

36.Если две последние цифры числа нули или образуют число, делящиеся на 4, то и само число делится на 4.

37.Если число делится и на 2 и на 3, то число делится на 6.

38. Если три последние цифры числа нули или образуют число, делящееся на 8, то и само число делится на 8.

Сложение смешанных чисел

Всего мы рассмотрим три типа сложения со смешанными числами. В каждом подпункте приведено необходимое правило и примеры выполнения решений.

Сложение смешанного числа и натурального числа

Запоминаем
Чтобы сложить смешанное число и натуральное число, прибавьте натурально число к целой части смешанного числа, а дробную часть оставьте нетронутой.

Представим первое правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа и натурального числа d.

Известно, что любое смешанное число равное сумме целой и дробной частей.

Это значит, что .

Тогда .

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с натуральными числами.

Пример 1. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 18.

Как решаем:

Записываем выражение

Согласно правилу, прибавляем к натуральному числу целую часть смешанного числа и вычисляем: .

Ответ: .

Пример 2. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 10.

Как решаем:

Записываем выражение: .

.

Ответ: .

Пример 3. Выполните сложение смешанного числа и натурального числа 2.

Как решаем:

Записываем выражение:

.

Ответ: .

Сложение смешанного числа со смешанным числом

Запоминаем
Чтобы сложить смешанное число с другим смешанным числом, сложите сначала целые части этих чисел, а затем — дробные части.

Представим правило в виде буквенных выражений.

Выполним сложение смешанного числа и смешанного числа .

Следуя правилу, запишем выражение в виде: .

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел.

Пример 1. Сложите смешанное число и смешанное число .

Как решаем:

Записываем выражение: .

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части:

Решаем: складываем целые части 2 + 7 = 9.

Чтобы выполнить сложение дробных частей, воспользуемся правилом сложения дробей с разными знаменателями: приведем дроби к наименьшему общему знаменателю и выполним сложение.

.

Наименьшее общее кратное — 15.

.

Если в результате сложения получилась сократимая дробь, сокращайте, не задумываясь: сокращаем на .

.

Ответ: .

Пример 2. Сложите смешанное число и смешанное число .

Как решаем:

Записываем выражение: .

Согласно правилу, складываем последовательно целые части смешанных чисел, затем складываем дробные части: .

Решаем: складываем целые части 13 + 2 = 15.

Складываем дробные части

Наименьшее общее кратное 12 и 20 равно 60.

.

Сокращаем дробь на .

.

Ответ:

Таким же образом можно складывать три, четыре и больше натуральных чисел. Не забывайте сокращать дроби и выделять целые части из неправильных дробей.

Сложение смешанного числа и правильной дроби

Запоминаем
Чтобы выполнить сложение смешанного числа и правильной дроби, прибавьте к дроби дробную часть смешанного числа, а целую часть оставьте без изменений.

Представим правило в виде буквенного выражения.

Если нам нужно сложить смешанное число и правильную дробь , то запишем следующее выражение: .

Рассмотрим примеры сложения смешанных чисел с обыкновенными дробями.

Пример 1. Выполните сложение обыкновенной дроби и смешанного числа

Как решаем:

Записываем выражение:

Согласно правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

.

Складываем дроби .

Наименьшее общее кратное 5 и 20 равно 20.

, сокращаем на 5, получается .

.

Ответ: .

Пример 2. Выполните сложение правильной дроби и смешанного числа .

Как решаем:

Записываем выражение: .

Следуя правилу, складываем дробь с дробной частью смешанного числа:

.

Складываем дроби .

Наименьшее общее кратное 4 и 2 равно 4.

.

.

Ответ: .

Чтобы выполнить сложение смешанного числа и неправильной обыкновенной дроби, выделите целую часть из неправильной дроби и выполните сложение смешанных чисел.

Примеры сложения и вычитания дробей с переменными

Когда имеются одинаковые знаменатели, необходимо только складывать или вычитать числители. Такая дробь может быть упрощена. Иногда приходится работать с дробями, которые являются тождественно равными, но при первом взгляде это  незаметно, так как необходимо выполнять некоторые преобразования. Например, x23·x13+1 и x13+12 или 12·sin 2α и sin a·cos a. Чаще всего требуется упрощение исходного выражения для того, чтобы увидеть одинаковые знаменатели.

Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Пример 6

Вычислить:1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2), x-1x-1+xx+1.

Решение

1. Чтобы произвести вычисление, необходимо вычесть дроби, которым имеют одинаковые знаменатели. Тогда получаем, что x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+1-5-xx+x-2.  После чего можно выполнять раскрытие скобок с приведением подобных слагаемых. Получаем, чтоx2+1-5-xx+x-2=x2+1-5+xx+x-2=x2+x-4x+x-2
2. Так как знаменатели одинаковые, то остается только сложить числители, оставив знаменатель:​​​​​​lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg2x+4+4x·(lg x+2)
   Сложение было выполнено. Видно, что можно произвести сокращение дроби.  Ее числитель может быть свернут по формуле квадрата суммы, тогда получим (lg x+2)2из формул сокращенного умножения. Тогда получаем, чтоlg2x+4+2·lg xx·(lg x+2)=(lg x+2)2x·(lg x+2)=lg x+2x
3.  Заданные дроби вида x-1x-1+xx+1 с разными знаменателями. После преобразования можно перейти к сложению.

Рассмотрим двоякий способ решения.

Первый способ заключается в том, что знаменатель первой дроби подвергается разложению на множители при помощи квадратов, причем с ее последующим сокращением. Получим дробь вида

x-1x-1=x-1(x-1)·x+1=1x+1

Значит, x-1x-1+xx+1=1x+1+xx+1=1+xx+1.

В таком случае необходимо избавляться от иррациональности в знаменателе.

Получим:

1+xx+1=1+x·x-1x+1·x-1=x-1+x·x-xx-1

Второй способ заключается в умножении числителя и знаменателя второй дроби на выражение x-1. Таким образом, мы избавляемся от иррациональности и переходим к сложению дроби при наличии одинакового знаменателя. Тогда

x-1x-1+xx+1=x-1x-1+x·x-1x+1·x-1==x-1x-1+x·x-xx-1=x-1+x·x-xx-1

Ответ: 1) x2+1x+x-2-5-xx+x-2=x2+x-4x+x-2, 2)lg2x+4x·(lg x+2)+4·lg xx·(lg x+2)=lg x+2x, 3)x-1x-1+xx+1=x-1+x·x-xx-1.

В последнем примере получили, что приведение к общему знаменателю неизбежно. Для этого необходимо упрощать дроби. Для сложения или вычитая всегда необходимо искать общий знаменатель, который выглядит как произведение знаменателей  с добавлением дополниетльных множителей к числителям.

Пример 7

Вычислить значения дробей: 1) x3+1×7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·(2x-4)-sin xx5·ln(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x

Решение

1.  Никаких сложных вычислений знаменатель не требует, поэтому нужно выбрать их произведение вида 3·x7+2·2, тогда к первой дроби x7+2·2 выбирают как дополнительный множитель, а 3 ко второй. При перемножении получаем дробь вида x3+1×7+2·2=x·x7+2·23·x7+2·2+3·13·x7+2·2==x·x7+2·2+33·x7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2
2. Видно, что знаменатели представлены в виде произведения, что означает ненужность дополнительных преобразований. Общим знаменателем будет считаться  произведение вида x5·ln2x+1·2x-4. Отсюда x4является дополнительным множителем к первой дроби, а ln(x+1)ко второй. После чего производим вычитание и получаем, что:x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x+1·x4x5·ln2(x+1)·2x-4-sin x·lnx+1×5·ln2(x+1)·(2x-4)==x+1·x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)=x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4)
3.  Данный пример имеет смысл при работе со знаменателями дробями. Необходимо применить формулы разности квадратов и квадрат суммы, так как именно они дадут возможность перейти к выражению вида 1cos x-x·cos x+x+1(cos x+x)2.  Видно, что дроби приводятся к общему знаменателю. Получаем, что cos x-x·cos x+x2.

После чего получаем, что

1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x==1cos x-x·cos x+x+1cos x+x2==cos x+xcos x-x·cos x+x2+cos x-xcos x-x·cos x+x2==cos x+x+cos x-xcos x-x·cos x+x2=2·cos xcos x-x·cos x+x2

Ответ:

1) x3+1×7+2·2=x·x7+2·2·x+33·x7+2·2, 2) x+1x·ln2(x+1)·2x-4-sin xx5·ln(x+1)·2x-4==x·x4+x4-sin x·ln(x+1)x5·ln2(x+1)·(2x-4), 3) 1cos2x-x+1cos2x+2·cos x·x+x=2·cos xcos x-x·cos x+x2.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Пример 4

При умножении 2x+2 на x-x·yy из правила получаем, что 2x+2·x-x·yy=2·(x-x·y)(x+2)·y.

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

2·x-x·y(x+2)·y=2·x-2·x·yx·y+2·y

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

2·x3-8·x3·x·y-y·6·y5x2+2·x=2·x·(x-2)·(x+2)y·(3·x-1)·6·y5x·(x+2)==2·x·(x-2)·(x+2)·6·y5y·(3·x-1)·x·x+2=12·(x-2)·y43·x-1=12·x·y4-24·y43·x-1

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
      
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа.              Что поможет в решении: если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = −b : а;                  если а равно нулю, а b не равно нулю — у уравнения нет корней;                  если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Общие сведения

Слово «дробь» в обиход ввёл математик средневековой Европы Фибоначчи. На Руси под этим понятием понимались доли чисел. В дословном переводе на русский с арабского термин обозначает «ломать» или «раздроблять». Вид записи выражения, который применяется и сегодня, предложили арабы. Но фундамент теории заложили греческие и индийские учёные.

В математике под дробным отношением понимают число, образованное из некоторой части единицы. Простыми словами это можно объяснить на наглядном примере. Пусть на столе лежит две круглые пиццы. Каждую из них разрезали на восемь равных частей. Всего получилось шестнадцать долей. Через какое-то время было съедено одиннадцать кусков. Соответственно на столе осталось пять. В математической записи такое действие будет выглядеть как 11 / 8.

Это легко проверить: 11/ 8 пиццы — это тоже что 8 / 8 плюс 3 / 8. То есть одна была полностью съедена, а с другой взяли только три кусочка. Так как отношение 8 / 8 — это целое (единица), то можно утверждать, что 8 / 8 = 1. Значит, произошедшее можно представить в виде равенства: 11 / 8 = 1 + 3 / 8.

Число, стоящее в верхней части выражения, называют делимым или числителем, а в нижней делителем или знаменателем. В зависимости от их числового значения все дроби разделяют на три класса:

1. Правильные. Рациональные выражения, в которых числитель меньше или неравен делителю. Например, 1 / 16; 4 / 45; -78 / 123.
2. Неправильные. Обыкновенные дроби, у которых знаменатель количественно меньше значения делимого или равен ему по численности. Например, 7 / 6; 19 / 19; 453 / 21.
3. Смешанные. Отношения, включающие в свою запись как натуральное число, так и правильную дробь. Фактически они представляют собой их сумму: 4 (4 / 5) = 4 + 4 / 5

Кроме этого, выделяют ещё одну группу выражений. Дроби, относящиеся к ней, называют десятичными. Это такие отношения, у которых знаменатель — это десятичное число, стоящее в любой натуральной степени. Для записи десятичных выражений используют не дробную черту, а запятую. Например, 12 / 10 = 1,2.